Question

（2013•延慶縣一模）已知函數(shù)f(x)=-2a2lnx+

1

2

x2+ax（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：可得函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù)，（Ⅰ）代入a=1可得f（1），和f'（1），進而可得切線方程；（Ⅱ）可得導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=

(x+2a)(x-a)

x

，分a=0和a＞0即a＜0三類分別求得導(dǎo)數(shù)的正負情況，進而可得單調(diào)性．

解答：解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′(x)=-

2a2

x

+x+a．…（2分）
（Ⅰ） 當(dāng)a=1時，f(1)=

3

2

，f'（1）=-2+1+1=0，
所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））的切線方程為y=

3

2

．…（5分）
（Ⅱ）f′(x)=

x2+ax-2a2

x

=

(x+2a)(x-a)

x

，…（6分）
（1）當(dāng)a=0時，f'（x）=x＞0，f（x）在定義域為（0，+∞）上單調(diào)遞增，…（7分）
（2）當(dāng)a＞0時，令f'（x）=0，得x₁=-2a（舍去），x₂=a，
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

此時，f（x）在區(qū)間（0，a）單調(diào)遞減，在區(qū)間（a，+∞）上單調(diào)遞增；  …（10分）
（3）當(dāng)a＜0時，令f'（x）=0，得x₁=-2a，x₂=a（舍去），
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	（0，-2a）	-2a	（-2a，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

此時，f（x）在區(qū)間（0，-2a）單調(diào)遞減，在區(qū)間（-2a，+∞）上單調(diào)遞增．…（13分）

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，涉及切線方程的求解，屬中檔題．