Question

已知函數(shù)f（x）自變量取值區(qū)間為A，若其值域區(qū)間也為A，則稱A為f（x）的保值區(qū)間．如f（x）=x²，則區(qū)間[0，1]為f（x）的保值區(qū)間．
（1）求函數(shù)f（x）=x³形如[m，+∞）（m∈R）的保值區(qū)間；
（2）函數(shù)g(x)=|

1

x

-1|，(x＞0)是否存在形如[a，b]（a＜b）的保值區(qū)間？若存在，求出實(shí)數(shù)a、b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由y=x³在R上單調(diào)遞增，自變量取值區(qū)間為[m，+∞），其值域區(qū)間也為[m，+∞），可得m=f（m）=m³，解得m的值，得出區(qū)間；
（2）函數(shù)g（x）在[a，b]上的單調(diào)性不確定，故分為三種情況進(jìn)行討論，①若1≥b＞a＞0，②若b＞a＞1，③若b＞1≥a＞0，前兩種情況單調(diào)性確定，最值可求，解方程組可求a，b，第三種情況可求最小值為0，不合題意．

解答：解：（1）∵y=x³在R上單調(diào)遞增．m=f（m）=m³，解得m=0或±1，
∴f（x）的保值區(qū)間為[0，+∞）或[1，+∞）或[-1，+∞）．（4分）
（2）函數(shù)不存在形如[a，b]的保值區(qū)間．若存在實(shí)數(shù)a、b使得函數(shù)g(x)=|

1

x

-1|，(x＞0)有形如[a，b]的保值區(qū)間，則a＞0，∵g(x)=|

1

x

-1|=

1- 1 x (x≥1) 1 x -1(0＜x＜1)

①若1≥b＞a＞0，
則g（x）=|1-

1

x

|=

1

x

-1
在[a，b]上單調(diào)遞減
最小值g（b），最大值g（a）
g（b）=a，

1

b

-1=a，1-b=ab
g（a）=b，

1

a

-1=b，1-a=ab
兩式相減得a=b，與題意不符；
②若b＞a＞1，
則g（x）=|1-

1

x

|=1-

1

x

在[a，b]上單調(diào)遞增
最小值g（a） 最大值g（b）
g（a）=a，1-

1

a

=a，a-1=a²
g（b）=b，1-

1

b

=b，b-1=b²
可知a，b是方程x-1=x²的兩根
x²-x+1=0，△=-3＜0，無(wú)解；
③若b＞1≥a＞0，
則g（x）=|1-

1

x

|
在[a，1]上單調(diào)遞減，
在[1，b]上單調(diào)遞增，
最小值g（1），最大值g（b）或g（a），
a=g（1）=0與a＞0矛盾；
綜上所述不存在滿足條件的a，b．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是讀懂題意，理清題意歸納出規(guī)律，知自變量的取值范圍[a，b]，值域[a，b]，求a、b，就是在[a，b]上，自變量x取何值時(shí)得最大值b，自變量x取何值時(shí)得最小值a，用到函數(shù)的單調(diào)性，所以以函數(shù)的單調(diào)性來(lái)分類進(jìn)行求解．