設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x|x2-a|．（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
分析：（1）當(dāng)a=1時(shí)，由x∈[-1，1]，知f（x）=-x3+x，故f′（x）=-3x2+1=-3（x-
3
3
）（x+
3
3
），令f′（x）=0，得x=
3
3
，x=-
3
3
，由此能求出函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上的最小值、最大值．
（2）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x3，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=x3-ax，由f′（x）=3x2-a＞0恒成立，知f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）．當(dāng)a＞0時(shí)，x≥
a
或x≤-
a
時(shí)，f′（x）=3x2-a=3（x+
a
3
）（x-
a
3
），-
a
3
＞-
a
，
a
3
＜
a
，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-∞，-
a
)及(
a
，+∞)．當(dāng)-
a
＜x＜
a
時(shí)，f′（x）=-3x2+a=-3(x+
a
3
)(x-
a
3
)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-
a
3
，
a
3
），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-
a
，-
a
3
)，(
a
3
，
a
)．由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x|x2-1|．
∵x∈[-1，1]，∴f（x）=-x3+x，
則f′（x）=-3x2+1=-3（x-
3
3
）（x+
3
3
），
令f′（x）=0，得x=
3
3
，x=-
3
3
，
∵±
3
3
∈[-1，1]，
f（-1）=1-1=0，
f（-
3
3
）=-（-
3
3
）3-
3
3
=-
2
3
9
，
f（
3
3
）=(
3
3
)3-
3
3
=
2
3
9
，
f（1）=-1+1=0，
∴函數(shù)f（x）在x∈[-1，1]上的最小值為-
2
3
9
，最大值為
2
3
9
．
（2）（i）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x3，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）．
（ii）當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=x3-ax，
∵f′（x）=3x2-a＞0恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，+∞）．
（iii）當(dāng)a＞0時(shí)，①當(dāng)x≥
a
或x≤-
a
時(shí)，f（x）=x3-ax，
因?yàn)閒′（x）=3x2-a=3（x+
a
3
）（x-
a
3
），-
a
3
＞-
a
，
a
3
＜
a
，
所以，當(dāng)x≤-
a
或x≥
a
時(shí)，f′（x）＞0，
從而f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-
a
)及(
a
，+∞)．
②當(dāng)-
a
＜x＜
a
時(shí)，f（x）=-x3+ax，
f′（x）=-3x2+a=-3(x+
a
3
)(x-
a
3
)，
令f′（x）=0，得x=
a
3
，x=-
a
3
，
列表，得
 x  （-
a
，-
a
3
）		 -
a
3
  
（-
a
3
，
a
3
）		  
a
3
  （
a
3
，
a
）
 f′（x） - 0  + 0  -
 f（x） ↓  極小值 ↑  極大值 ↓
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-
a
3
，
a
3
），f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-
a
，-
a
3
)，(
a
3
，
a
)．
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-
a
)，(
a
，+∞)及(-
a
3
，
a
3
)，
f（x）的單調(diào)減區(qū)間為(-
a
，-
a
3
)，(
a
3
，
a
)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．易錯(cuò)點(diǎn)是分類討論時(shí)因分類不清容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
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y=-2x
y=-2x
．

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