Question

已知函數(shù)，
（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和值域；
（Ⅱ）設(shè)，函數(shù)，若對于任意，總存在使得成立，求的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，
的值域為[-4，-3]
（Ⅱ）

【錯解分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間仍然要樹立起定義域優(yōu)先的意識，同時要培養(yǎng)自已的求導(dǎo)及解不
等式的運(yùn)算能力。第（Ⅱ）問要注意將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化即轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上的值域
是函數(shù)的值域的子集，從而轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)在區(qū)間上的值域。
【正解】(Ⅰ) ，令解得或,在，所以為單調(diào)遞減函數(shù)；在，所以為單調(diào)遞增函數(shù)；又，即的值域為[-4，-3]，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的值域為[-4，-3].( 單調(diào)區(qū)間為閉區(qū)間也可以).
（Ⅱ）∵,又，當(dāng)時，，
因此，當(dāng)時，為減函數(shù)，從而當(dāng)時，有.
又，即當(dāng)時，有，
任給，有，存在使得，
則又，所以的取值范圍是。
【點(diǎn)評】高考對導(dǎo)數(shù)的考查定位于作為解決初等數(shù)學(xué)問題的工具出現(xiàn)，側(cè)重于考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)與解析幾何中的應(yīng)用，主要有以下幾個方面：①運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識，研究函數(shù)最值問題，一直是高考長考不衰的熱點(diǎn)內(nèi)容．另一方面，從數(shù)學(xué)角度反映實(shí)際問題，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值與最小值問題，再利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，順利地解決函數(shù)的最大值與最小值問題，從而進(jìn)一步地解決實(shí)際問題．用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)比用初等方法研究要方便得多，單調(diào)區(qū)間的求解過程，已知 （1）分析 的定義域； （2）求導(dǎo)數(shù) （3）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間，對于函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并:函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，又知函數(shù)在處連續(xù)，因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，則二區(qū)間就可以合并為以個區(qū)間。