Question

下列說法：
①函數(shù)是最小正周期為π的偶函數(shù)；
②函數(shù)可以改寫為；
③函數(shù)的圖象關于直線對稱；
④函數(shù)y=tanx的圖象的所有的對稱中心為（kπ，0），k∈Z；
⑤將函數(shù)y=sin2x的圖象先向左平移個單位，然后縱坐標不變，橫坐標伸長為原來
的2倍，所得圖象的函數(shù)解析式是；
其中所有正確的命題的序號是    ．（請將正確的序號填在橫線上）

Answer 1

【答案】分析：①把函數(shù)解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式及誘導公式化簡為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)的最小正周期，且根據(jù)正弦函數(shù)為奇函數(shù)，得到函數(shù)f（x）也為奇函數(shù)，即可作出判斷；
②根據(jù)誘導公式化簡函數(shù)解析式，即可作出判斷；
③由②化簡得到的函數(shù)解析式，令其角度等于kπ，求出x的解，判斷屬于求出的x的解集，故本選項正確；
④先根據(jù)正切函數(shù)是奇函數(shù)，因而原點（0，0）是它的對稱中心，以及周期性可知點（kπ，0）都是它的對稱中心，然后平移坐標系，使原點（0，0）移到（ ，0）得到y(tǒng)=tan（x+）=-cotx，依舊是奇函數(shù)，點（kπ-，0）也是對稱中心，綜合到一起就得到對稱中心是（k +，0）．（k是整數(shù)）；
⑤先根據(jù)“左加右減”的平移規(guī)律把函數(shù)解析式進行變形，然后再根據(jù)伸縮規(guī)律把解析式中x變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101224525478052936/SYS201311012245254780529016_DA/6.png">x，即可得到變換后的解析式，作出判斷．
解答：解：①函數(shù)
=cos（-2x）
=sin2x，
∵ω=2，∴T==π，
又正弦函數(shù)為奇函數(shù)，∴f（x）為奇函數(shù)，
則f（x）為周期為π的奇函數(shù)，本選項錯誤；
②函數(shù)
=cos[-（+2x）]+1
=sin（+2x）+1，本選項正確；
③函數(shù)
=cos[-（+2x）]
=sin（+2x），
令+2x=kπ，（k∈Z）
解得x=-，
∵k=4時，x=，
則函數(shù)圖象關于直線對稱，本選項正確；
④tan（-x）=-tanx，因此正切函數(shù)是奇函數(shù)，因而原點（0，0）是它的對稱中心．
又因為正切函數(shù)的周期是π，所以點（kπ，0）都是它的對稱中心．
平移坐標系，使原點（0，0）移到（ ，0）得到y(tǒng)=tan（x+）=-cotx，依舊是奇函數(shù)，
所以在新坐標系中點（kπ，0）也是對稱中心，返回原坐標系，這些點的原坐標是（kπ-，0）
綜合到一起就得到對稱中心是（k +，0）．（k是整數(shù)），本選項錯誤；
⑤將函數(shù)y=sin2x的圖象先向左平移個單位，
得到y(tǒng)=sin2（x+），
然后縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍，
所得圖象的函數(shù)解析式為y=sin2（x+）=sin（x+）≠，
本選項錯誤，
則正確選項的序號為：②③．
故答案為：②③
點評：此題綜合考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的恒等變形，余弦函數(shù)的對稱性，以及三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，涉及的知識有：二倍角的余弦函數(shù)公式，誘導公式，函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)平移的規(guī)律，要求學生要融匯貫穿，靈活運用所學知識解決問題．