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8.(1)已知平面向量\overrightarrow{α}\overrightarrow{β},|\overrightarrow{α}|=1,\overrightarrow{β}=(2,0),\overrightarrow{α}⊥(\overrightarrow{α}-2\overrightarrow{β}),求|2\overrightarrow{α}+\overrightarrow{β}|的值;
(2)已知三個向量\overrightarrow{a}、\overrightarrow、\overrightarrow{c}兩兩所夾的角都為120°,|\overrightarrow{a}|=1,|\overrightarrow|=2,|\overrightarrow{c}|=3,求向量\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}與向量\overrightarrow{a}的夾角.

分析 (1)由\overrightarrow{α}⊥(\overrightarrow{α}-2\overrightarrow{β})結合已知求得\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β},然后求出|2\overrightarrow{α}+\overrightarrow{β}{|}^{2},則|2\overrightarrow{α}+\overrightarrow{β}|的值可求;
(2)由已知分別求出(\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c})•\overrightarrow{a}|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|,代入數(shù)量積求夾角公式求解.

解答 解:(1)|\overrightarrow{α}|=1,\overrightarrow{β}=(2,0),
\overrightarrow{α}⊥(\overrightarrow{α}-2\overrightarrow{β}),得\overrightarrow{α}•(\overrightarrow{α}-2\overrightarrow{β})=|\overrightarrow{α}{|}^{2}-2\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}=0
\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}=\frac{1}{2}
|2\overrightarrow{α}+\overrightarrow{β}{|}^{2}=4|\overrightarrow{α}{|}^{2}+4\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}+|\overrightarrow{β}{|}^{2}=4+4×\frac{1}{2}+4=10,
∴|2\overrightarrow{α}+\overrightarrow{β}|=\sqrt{10};
(2)(\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c})•\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+\overrightarrow•\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}=1+|\overrightarrow||\overrightarrow{a}|cos120°+|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|cos120°
=1+2×1×(-\frac{1}{2})+3×1×(-\frac{1}{2})=-\frac{3}{2};
|\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|=\sqrt{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c})^{2}}=\sqrt{|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{|}^{2}+|\overrightarrow{c}{|}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow•\overrightarrow{c}}
═\sqrt{1+4+9+2×1×2×(-\frac{1}{2})+2×1×3×(-\frac{1}{2})+2×2×3×(-\frac{1}{2})}=\sqrt{3}
設向量\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}與向量\overrightarrow{a}的夾角為θ,
∴cosθ=\frac{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c})•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}|}=\frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}
∵θ∈[0,π],
θ=\frac{5π}{6}
即向量\overrightarrow{a}+\overrightarrow+\overrightarrow{c}與向量\overrightarrow{a}的夾角為\frac{5π}{6}

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算,考查了利用數(shù)量積求向量的夾角,考查運算能力,是中檔題.

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