Question

已知：動(dòng)圓M與圓F：（x-1）²+y²=1內(nèi)切，且與直線l：x=-2相切，動(dòng)圓圓心 M的軌跡為曲線Γ
（1）求曲線Γ的方程；
（2）過(guò)曲線Γ上的點(diǎn) P（x₀，2）引斜率分別為k₁，k₂的兩條直線l₁、l₂，直線l₁、l₂與曲線Γ的異于點(diǎn)P的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，若k₁k₂=4，試探究：直線AB是否恒過(guò)定點(diǎn)？若恒過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不恒過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,軌跡方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由題意可得：動(dòng)點(diǎn)M滿足到定點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線l：x=-2的距離小1，即到直線：x=-1的距離相等，利用拋物線的定義即可得出．
（2）把點(diǎn) P（x₀，2）代入拋物線方程可得2²=4x₀，可得P（1，2）．若直線AB的斜率不存在，與k₁k₂=4矛盾，舍去．因此可設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，k1=

y1-2

x1-1

，k2=

y2-2

x2-1

，由k₁k₂=4，可得（k²-4）x₁x₂+（kb-2k+4）（x₁+x₂）+b²-4b=0，（*）聯(lián)立

y=kx+b y2=4x

，化為k²x²+（2kb-4）x+b²=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入（*）可得：（b+2）（k+b-2）=0，即可得出．

解答： 解：（1）由題意可得：動(dòng)點(diǎn)M滿足到定點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線l：x=-2的距離小1，即到直線：x=-1的距離相等，
因此M的軌跡曲線Γ為拋物線：y²=4x．
（2）把點(diǎn) P（x₀，2）代入拋物線方程可得2²=4x₀，解得x₀=1，∴P（1，2）．
若直線AB的斜率不存在，則k₁與k₂異號(hào)，與k₁k₂=4矛盾，舍去．
可設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，k1=

y1-2

x1-1

，k2=

y2-2

x2-1

，
由k₁k₂=4，可得y₁y₂-2（y₁+y₂）+4=4[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]，
∴（kx₁+b）（kx₂+b）-2（kx₁+kx₂+2b）+4=4[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]，
化為（k²-4）x₁x₂+（kb-2k+4）（x₁+x₂）+b²-4b=0，（*）
聯(lián)立

y=kx+b y2=4x

，化為k²x²+（2kb-4）x+b²=0，
∴x1+x2=

4-2kb

k2

，x1x2=

b2

k2

，代入（*）可得：（b+2）（k+b-2）=0，
∵A，B均異于點(diǎn)P（1，2），且直線與拋物線最多有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴點(diǎn)P（1，2）不在直線AB上，k+b≠2，
∴b=-2，此時(shí)直線AB的方程為y=kx-2，
可知：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．