已知f(x)=ksinx+kcosx+sinxcosx+1
(1)若f(x)≥0在[0,
4
]上恒成立,求實數(shù)k的取值范圍
(2)當k
2
時,求方程f(x)=0在[-2π,2π]上實數(shù)根的個數(shù).
考點:三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象,三角函數(shù)的最值
專題:函數(shù)的性質及應用,三角函數(shù)的求值
分析:(1)首先利用三角函數(shù)關系式的恒等變換,進一步利用換元法,利用轉化法結合恒成立問題求出參數(shù)的取值范圍.
(2)利用(1)的結論進一步利用根和系數(shù)的關系及一元二次方程的根進一步利用關系式求出根的個數(shù).
解答: 解:(1)f(x)=ksinx+kcosx+sinxcosx+1
=k(sinx+cosx)+sinxcosx+1
因為:(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx
所以:sinxcosx=
(sinx+cosx)2-1
2

設sinx+cosx=t
則:sinxcosx=
t2-1
2

又sinx+cosx=t=
2
sin(x+
π
4
)

因為:x∈[0,
4
]
所以:x+
π
4
∈[
π
4
,π]

t∈(0,
2
]
所以f(x)=ksinx+kcosx+sinxcosx+1可轉化為:
g(t)=kt+
t2-1
2
+1=
t2+1
2
+kt

要使f(x)≥0,等價于g(t)=
t2+1
2
+kt
≥0在(0,
2
]上恒成立.
t2+1
2
+kt≥0
得到:k≥-
t2+1
2t
=-
1
2
(t+
1
t
)

-
1
2
(t+
1
t
)≤-1

當且僅當t=1時,等號成立.
故k≥-1
(2)由(1)知f(x)=0等價于
t2+1
2
+kt=0

即:t2+2kt+1=0①
其中sinx+cosx=t=
2
sin(x+
π
4
)
∈[-
2
,
2
]
,
當k
2
時,△=4k2-4>0在①式上的兩個實數(shù)根t1,t2
由根和系數(shù)的關系得:t1t2=1
不妨設:t1=
-2k+
4k2-4
2
=-k+
k2-1

t2=
-2k-
4k2-4
2
=-k-
k2-1

由于k
2

所以:-k-
k2-1
<-k<-
2

解得:t1∈(-
2
2
,0)

①式在[-
2
,
2
]
上僅有一個實數(shù)根t1∈(-
2
2
,0)

sin(x+
π
4
)=
2
2
t1∈(-
1
2
,0)

此時方程f(x)=0在[-2π,2π]上有4個實數(shù)根.
點評:本題考查的知識要點:三角函數(shù)關系式的恒等變換,換元法的應用,根和系數(shù)的關系的應用,求根公式法的應用.及相關的運算問題,屬于難題.
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在等差數(shù)列{an}中,Sn為前n項和.
(1)若a1+a9+a12+a20=20,求S20;
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4n•bn
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定義:分子為1且分母為正整數(shù)的分數(shù)稱為單位分數(shù).我們可以把1分拆為若干個不同的單位分數(shù)之和. 如:1=
1
2
+
1
3
+
1
6
,1=
1
2
+
1
4
+
1
6
+
1
12
,1=
1
2
+
1
5
+
1
6
+
1
12
+
1
20
,…依此類推可得:1=
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
m
+
1
n
+
1
30
+
1
42
+
1
56
+
1
72
+
1
90
+
1
110
+
1
132
+
1
156
,其中m≤n,m,n∈N*.設1≤x≤m,1≤y≤n,則
x+y+2
x+1
的最小值為( 。
A、
23
2
B、
5
2
C、
8
7
D、
34
3

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函數(shù)y=3x-2x2+1的單調遞增區(qū)間為(  )
A、{-∞,-
3
4
]
B、[
3
4
,+∞}
C、[-∞,
3
4
}
D、[-
3
4
.+∞}

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已知A,B,P三點共線,O為空間不與A,B,P共線的任意一點,
OP
OA
OB
,求實數(shù)α+β的值.

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已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的離心率為4,過右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點,弦MN的垂直平分線交x軸于點H,若|MN|=10,則|HF|=(  )
A、14B、16C、18D、20

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2
5
5
成立,則x1的值為( 。
A、
1
5
B、
2
5
C、
1
2
D、1

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