Question

10．已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=2^x-2x${\;}^{\frac{1}{2}}$，又a是函數(shù)g（x）=ln（x+1）-$\frac{2}{x}$的零點(diǎn)，則f（-2），f（a），f（1.5）的大小關(guān)系是f（1.5）＜f（a）＜f（-2）．

Answer 1

分析 當(dāng)a＞0時(shí)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性g（2）=ln3-1＞0，g（1.5）=ln2.5-$\frac{4}{3}$＜lne-1=0，根據(jù)零點(diǎn)定理在區(qū)間（1.5，2）內(nèi)g（x）存在零點(diǎn)，可得1.5＜a＜2，x≥0時(shí)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性f（1.5）＜f（a）＜f（2），根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知f（1.5）＜f（a）＜f（-2）．

解答 解：當(dāng)a＞0時(shí)，易知g（x）為增函數(shù)，而且g（2）=ln3-1＞0，g（1.5）=ln2.5-$\frac{4}{3}$＜lne-1=0，
由零點(diǎn)存在定理可知在區(qū)間（1.5，2）內(nèi)g（x）存在零點(diǎn)，
再由單調(diào)性結(jié)合題意可知a就為這個(gè)零點(diǎn)，
因此有1.5＜a＜2．
當(dāng)x≥0時(shí)，求導(dǎo)即得：f′（x）2^xlnx-$\frac{1}{\sqrt{x}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞2ln2-1=ln2²-1＞lne-1=0，
由此可見f（x）在（1，+∞）上單調(diào)增，
∴f（1.5）＜f（a）＜f（2），
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（1.5）＜f（a）＜f（-2）．
故答案為：f（1.5）＜f（a）＜f（-2）．

點(diǎn)評 本題考查的是函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合類問題．考查零點(diǎn)定理、導(dǎo)數(shù)知識的靈活應(yīng)用．考查數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．