Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是長方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=AD=1，DC=2，過D作DF⊥PB于F，過F作FE⊥PB交PC于E．
（Ⅰ）證明：DE⊥平面PBC；
（Ⅱ）求平面DEF與平面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得BC⊥平面PCD．即BC⊥DE，又PB⊥平面DEF．得PB⊥DE即可．
（2）以點(diǎn)D原點(diǎn)，$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DP}$分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），P（0，0，1）由DF⊥PB，F(xiàn)E⊥PB得PB⊥面DEF，$\overrightarrow{PB}$是面DEF的法向量，又因?yàn)槊鍭BCD的法向量為$\overrightarrow{DP}$，利用向量的夾角公式求解．

解答 解：（Ⅰ）證明：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，
由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，
所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PCD，所以BC⊥DE．…（2分）
又因?yàn)镈F⊥PB，F(xiàn)E⊥PB
所以PB⊥平面DEF．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE．…（4分）
又BC⊥DE，PB∩BC=B，所以DE⊥平面PBC．…（6分）
（Ⅱ）如圖2，以點(diǎn)D原點(diǎn)，$\overrightarrow{DA}，\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{DP}$分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），P（0，0，1）
由DF⊥PB，F(xiàn)E⊥PB得PB⊥面DEF，∴$\overrightarrow{PB}$是面DEF的法向量，
又因?yàn)槊鍭BCD的法向量為$\overrightarrow{DP}$，$\overrightarrow{PB}=（1，2，-1），\overrightarrow{DP}=（0，0，1）$
利用向量的夾角公式可得cos$＜\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{DP}＞$=-$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴平面DEF與平面ABCD所成二面角的余弦值 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

點(diǎn)評 本題考查了空間線面垂直的判定，向量法求二面角，屬于中檔題．