Question

已知四棱錐S-ABCD，底面為正方形，SA⊥底面ABCD，AB=AS=a，M、N分別為AB、SC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求四棱錐S-ABCD的表面積；
（Ⅱ）求證：MN∥平面SAD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件可得△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD，再根據(jù)S_表面積=2S_△SAB+2S_△SBC+S_ABCD 運(yùn)算求得結(jié)果．
（Ⅱ）取SD中點(diǎn)P，利用三角形的中位線的性質(zhì)證得AMNP是平行四邊形，可得MN∥AP．再根據(jù)直線和平面平行的判定的定理證得MN∥平面SAD．

解答：解：（Ⅰ）∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥AB，SA⊥AD，SA⊥BC．
又BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，同理，CD⊥SD，（3分）
∴△SAB≌△SAD，△SBC≌△SCD．
又∵SB=

2

a，∴S_表面積=2S_△SAB+2S_△SBC+S_ABCD
=2×

1

2

a2+2×

1

2

a•

2

a+a2=(2+

2

)a2．（7分）
（Ⅱ）取SD中點(diǎn)P，連接MN、NP、PA，則NP=

1

2

CD，且NP∥CD．（9分）
又AM=

1

2

CD，且AM∥CD，∴NP=AM，NP∥AM，∴AMNP是平行四邊形．（12分）
∴MN∥AP，而AP?平面SAD，MN不在平面SAD內(nèi)，∴MN∥平面SAD．    （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定的定理的應(yīng)用，求多面體的表面積，屬于中檔題．