Question

19．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，AB=AA₁=2，∠ABC=60°，BC=4，點(diǎn)M，N分別為A₁B 和B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）證明：MN∥平面A₁ACC₁
（2）證明：A₁M⊥平面MAC．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁的中點(diǎn)D，連結(jié)MD、ND，推導(dǎo)出DM∥AA₁，DN∥A₁C₁，從而平面DMN∥平面A₁ACC₁，由此能證明MN∥平面A₁ACC₁．
（2）推導(dǎo)出AM⊥A₁B，由余弦定理得AC=2$\sqrt{3}$，從而${A}_{1}C=\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}+A{C}^{2}}$=4，進(jìn)而CM⊥A₁B，由此能證明A₁M⊥平面MAC．

解答 證明：（1）取A₁B₁的中點(diǎn)D，連結(jié)MD、ND，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，點(diǎn)M，N分別為A₁B 和B₁C₁的中點(diǎn)，
∴DM∥AA₁，DN∥A₁C₁，
∵DM∩DN=D，AA₁∩A₁C₁=A₁，
DM，DN?平面DMN，AA₁，A₁C₁?平面A₁ACC₁，
∴平面DMN∥平面A₁ACC₁，
∵M(jìn)N?平面DMN，∴MN∥平面A₁ACC₁．
（2）∵側(cè)棱與底面垂直，AB=AA₁=2，∠ABC=60°，BC=4，
點(diǎn)M，N分別為A₁B 和B₁C₁的中點(diǎn)，
∴AM⊥A₁B，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}-2×2×4×cos60°}$=2$\sqrt{3}$，
${A}_{1}C=\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{4+12}$=4，∴CM⊥A₁B，
∵AM∩CM=M，∴A₁M⊥平面MAC．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．