Question

本小題滿分16分）設不等式組所表示的平面區(qū)域為，記內(nèi)的格點（格點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點）個數(shù)為

（1）求的值及的表達式；

（2）記，試比較的大小；若對于一切的正整數(shù)，總有成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設為數(shù)列的前項的和，其中，問是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出正整數(shù)；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

⑴

⑵中的最大值為

要使對于一切的正整數(shù)恒成立，只需∴

⑶存在正整數(shù)使成立.

【解析】

試題分析：（1）據(jù)可行域，求出當x=1，x=2時，可行域中的整數(shù)點，分別求出f（1），f（2），f（n）．

（2）求出 ，據(jù)它的符號判斷出Tn的單調(diào)性，求出Tn的最大值，令m大于等于最大值即可．

(3) 因為,

然后可由，得，,再分t=1和t>1兩種情況進行研究即可．

⑴

當時，取值為1，2，3，…，共有個格點

當時，取值為1，2，3，…，共有個格點

∴

⑵ 

當時，

當時，

∴時，

時，

時，

∴中的最大值為

要使對于一切的正整數(shù)恒成立，只需∴

⑶

將代入，化簡得，（﹡）

若時，顯然

若時（﹡）式化簡為不可能成立

綜上，存在正整數(shù)使成立.

考點：二元一次不等式組表示平面區(qū)域，函數(shù)的數(shù)列特性，數(shù)列與函數(shù)的綜合.

點評：解本小題的關鍵是正確作出可行域，然后得出f(n)=3n，這也是解決本小題的前提．

然后利用研究函數(shù)的單調(diào)性的方法研究數(shù)列的單調(diào)性，研究有關數(shù)列不等式恒成立問題．