Question

本小題滿分16分）設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011314380768333370/SYS201301131439106521697411_ST.files/image002.png">，記內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）個(gè)數(shù)為

（1）求的值及的表達(dá)式；

（2）記，試比較的大��；若對(duì)于一切的正整數(shù)，總有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，其中，問是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出正整數(shù)；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

⑴

⑵中的最大值為

要使對(duì)于一切的正整數(shù)恒成立，只需∴

⑶存在正整數(shù)使成立.

【解析】

試題分析：（1）據(jù)可行域，求出當(dāng)x=1，x=2時(shí)，可行域中的整數(shù)點(diǎn)，分別求出f（1），f（2），f（n）．

（2）求出 ，據(jù)它的符號(hào)判斷出Tn的單調(diào)性，求出Tn的最大值，令m大于等于最大值即可．

(3) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013011314380768333370/SYS201301131439106521697411_DA.files/image011.png">,

然后可由，得，,再分t=1和t>1兩種情況進(jìn)行研究即可．

⑴

當(dāng)時(shí)，取值為1，2，3，…，共有個(gè)格點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，取值為1，2，3，…，共有個(gè)格點(diǎn)

∴

⑵ 

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

∴時(shí)，

時(shí)，

時(shí)，

∴中的最大值為

要使對(duì)于一切的正整數(shù)恒成立，只需∴

⑶

將代入，化簡得，（﹡）

若時(shí)，顯然

若時(shí)（﹡）式化簡為不可能成立

綜上，存在正整數(shù)使成立.

考點(diǎn)：二元一次不等式組表示平面區(qū)域，函數(shù)的數(shù)列特性，數(shù)列與函數(shù)的綜合.

點(diǎn)評(píng)：解本小題的關(guān)鍵是正確作出可行域，然后得出f(n)=3n，這也是解決本小題的前提．

然后利用研究函數(shù)的單調(diào)性的方法研究數(shù)列的單調(diào)性，研究有關(guān)數(shù)列不等式恒成立問題．