Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax2-（2a+1）x+2lnx（a∈R）．
（Ⅰ） 求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ） 設(shè)g（x）=x²-2x，若對任意x₁∈（0，2]，均存在x₂∈（0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是①求導(dǎo)函數(shù)f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間），對于本題的在求單調(diào)區(qū)間時(shí)要注意函數(shù)的定義域以及對參數(shù)a的討論情況；
（Ⅱ） 由題意可知f（x）的最大值小于g（x）的最大值，然后根據(jù)x大于等于0小于等于1，根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可得到g（x）的最大值，再根據(jù)（Ⅰ）求出的f（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)f（x）的增減性即可求出f（x）的最大值，進(jìn)而列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），f/(x)=ax-(2a+1)+

2

x

=

(x-2)(ax-1)

x

當(dāng)a=0時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為（0，2），單調(diào)減區(qū)間為（2，+∞）；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為（2，

1

a

），單調(diào)增區(qū)間為（0，2），（

1

a

，+∞)；
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為 （0，2），單調(diào)減區(qū)間為 （2，+∞）
或a＞

1

2

時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為（0，

1

a

），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為(

1

a

，2)；
（Ⅱ） 由已知，轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max．
由x∈（0，2]，得到g（x）_max=g（2）=0，
由（Ⅰ）知當(dāng)a=0時(shí)，成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）_max=f（2）=-2a-2+2ln2，∴a＞-1+ln2；
故a的取值范圍是a=0或a＞-1+ln2．

點(diǎn)評：本題是個(gè)中檔題．考查函數(shù)的值域，難點(diǎn)是題意的理解與轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．同時(shí)也考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力，