Question

12．已知△ABC中．AB=BC，延長CB至D，使AC⊥AD，若$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，則λ-μ=3．

Answer 1

分析 根據題意畫出圖形，結合圖形得出AB是Rt△ACD斜邊的中線，用向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$表示出$\overrightarrow{AD}$，求出λ、μ的值即可．

解答 解：如圖所示，

△ABC中，AB=BC，
延長CB到D，使AC⊥AD，
∴AB是Rt△ACD的斜邊CD上的中線，
∴$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AD}$），
化為$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$．
與$\overrightarrow{AD}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$比較，
得λ=2、μ=-1，
∴λ-μ=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了直角三角形斜邊中線的性質與向量的線性運算問題，是基礎題．