已知數(shù)列{a
n}的前n項和S
n=2-a
n,數(shù)列{b
n}滿足b
1=1,b
3+b
7=18,且b
n-1+b
n+1=2b
n(n≥2).
(Ⅰ)求數(shù)列{a
n}和{b
n}的通項公式;
(Ⅱ)若c
n=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181503100760923/SYS201310241815031007609016_ST/0.png)
,求數(shù)列{c
n}的前n項和T
n.
【答案】
分析:(Ⅰ)由前n項和與第n項的關(guān)系,可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181503100760923/SYS201310241815031007609016_DA/0.png)
,求出此等比數(shù)列的通項公式;由b
n-1+b
n+1=2b
n(n≥2)知,數(shù)列{b
n}是等差數(shù)列,由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181503100760923/SYS201310241815031007609016_DA/1.png)
,求得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181503100760923/SYS201310241815031007609016_DA/2.png)
,從而寫出等差數(shù)列 的通項公式.
(Ⅱ)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181503100760923/SYS201310241815031007609016_DA/3.png)
,用錯位相加法進行數(shù)列求和,得到T
n 的結(jié)果.
解答:解:(Ⅰ)由題意S
n=2-a
n ①,當(dāng)n≥2時,S
n-1=2-a
n-1 ②,①-②得 a
n=S
n-S
n-1 =a
n-1-a
n ,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181503100760923/SYS201310241815031007609016_DA/4.png)
,又a
1=S
1=2-a
1,∴a
1=1,故數(shù)列{a
n}是以1為首項,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181503100760923/SYS201310241815031007609016_DA/5.png)
為公比的等比數(shù)列,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181503100760923/SYS201310241815031007609016_DA/6.png)
.
由b
n-1+b
n+1=2b
n(n≥2)知,數(shù)列{b
n}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181503100760923/SYS201310241815031007609016_DA/7.png)
,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181503100760923/SYS201310241815031007609016_DA/8.png)
,b
n=b
1+(n-1)d=2n-1;
綜上,數(shù)列{a
n}和{b
n}的通項公式為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181503100760923/SYS201310241815031007609016_DA/9.png)
.
(Ⅱ)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181503100760923/SYS201310241815031007609016_DA/10.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181503100760923/SYS201310241815031007609016_DA/11.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181503100760923/SYS201310241815031007609016_DA/12.png)
③
∴2T
n=1×2
1+3×2
2++(2n-3)×2
n-1+(2n-1)×2
n,④
③-④得-T
n=1+2(2
1+2
2+2
3++2
n-1)-(2n-1)•2
n,
整理得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181503100760923/SYS201310241815031007609016_DA/13.png)
,所以T
n=(2n-3)•2
n+3.
點評:本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的通項公式,等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的通項公式,根據(jù)遞推關(guān)系求通項,用錯位相加法進行數(shù)列求和,用錯位相加法求出T
n=(2n-3)•2
n+3,是解題的難點.
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