設數(shù)列{an}的各項都是正數(shù),且對任意n∈N+,都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2,其中Sn為數(shù)列{an}的前n項和.
(Ⅰ)求證:an2=2Sn-an;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)設bn=3n+(-1)n-1λ•2an(λ為非零整數(shù),n∈N*)試確定λ的值,使得對任意n∈N*,都有bn+1>bn成立.
【答案】
分析:(Ⅰ)令n=1代入a
13+a
23+a
33+…+a
n3=S
n2,可得a
1的值,然后推出S
n-12的表達式,與S
n2相減可得a
n2=2S
n-a
n,從而求證;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得a
n2=2S
n-a
n利用遞推公式,得a
n-12的表達式,從而可得數(shù)列a
n是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.
(Ⅲ)第一步要求出b
n+1-b
n的表達式,然后再進行分類討論,n為奇偶的情況確定λ的范圍;
解答:解:(Ⅰ)由已知得,當n=1時,a
13=S
12=a
12,
又∵a
n>0,∴a
1=1
當n≥2時,a
13+a
23++a
n3=S
n2①
a
13+a
23++a
n-13=S
n-12②
由①-②得,a
n3=S
n2-S
n-12=(S
n-S
n-1)(S
n+S
n-1)=a
n(S
n+S
n-1)
∴a
n2=S
n+S
n-1=2S
n-a
n(n≥2)
顯然當n=1時,a
1=1適合上式.
故a
n2=2S
n-a
n(n∈N
*)
(Ⅱ)由(I)得,a
n2=2S
n-a
n③
a
n-12=2S
n-1-a
n-1(n≥2)④
由③-④得,a
n2-a
n-12=2S
n-2S
n-1-a
n+a
n-1=a
n+a
n-1∵a
n+a
n-1>0∴a
n-a
n-1=1(n≥2)
故數(shù)列a
n是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.
∴a
n=n(n∈N
*)
(III)∵a
n=n(n∈N
*),∴b
n=3
n+(-1)
n-1λ•2
n∴b
n+1-b
n=3
n+1-3
n+(-1)
nλ•2
n+1-(-1)
n-1λ•2
n=2×3
n-3λ•(-1)
n-1•2
n要使b
n-1>b
n恒成立,只須(-1)
n-1 λ<
n-1(1)當n為奇數(shù)時,即λ<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181340271173989/SYS201310241813402711739020_DA/1.png)
恒成立,
又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181340271173989/SYS201310241813402711739020_DA/2.png)
的最小值為1,∴λ<1
(2)當為偶數(shù)時,即λ>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181340271173989/SYS201310241813402711739020_DA/3.png)
恒成立,
又-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181340271173989/SYS201310241813402711739020_DA/4.png)
的最大值為-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181340271173989/SYS201310241813402711739020_DA/5.png)
,
∴λ>-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181340271173989/SYS201310241813402711739020_DA/6.png)
,∴由(1)(2)得-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024181340271173989/SYS201310241813402711739020_DA/7.png)
<λ<1,
又λ=0且為整數(shù),∴λ=-1對所有n∈N
+,都有b
n+1>b
n成立.
點評:此題主要考查等比數(shù)列的性質及遞推公式的應用,難度比較大,后面第三問還需要分類討論n的奇偶性,此題綜合性較強,做題時要認真學會獨立思考.