Question

函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）-2x，b∈R
（Ⅰ）當b=

3

2

時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+2x，若b≥2，求證：對任意x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁≥x₂，都有g(shù)（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）．

Answer 1

分析：（1）當b=

3

2

時，函數(shù)解析式為f(x)=x2+

3

2

ln(x+1)-2x，定義域為（-1，+∞）．然后利用求導(dǎo)數(shù)的方法，得x變化時，f'（x），f（x）的變化情況的表格，由表格可得到函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，得f′(x)=

2x2+b-2

x+1

，因為b≥2，所以f'（x）≥0，得到f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上是增函數(shù)，從而得到對任意x₁，x₂∈（-1，+∞），當x₁≥x₂時，必定f（x₁）≥f（x₂），再結(jié)合g（x）=f（x）+2x化簡整理，即得g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂），命題得證．

解答：解：（1）當b=

3

2

時，函數(shù)解析式為f(x)=x2+

3

2

ln(x+1)-2x，定義域為（-1，+∞）
∴對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得f′(x)=2x+

3

2(x+1)

-2，
令2x+

3

2(x+1)

-2=0，解得x1=-

1

2

或x2=

1

2

…（2分）
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	(-1，- 1 2 )	- 1 2	(- 1 2 ， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

由表格可得：當x=-

1

2

時，函數(shù)f（x）的極大值為f（-

1

2

）=

5

4

-

3

2

ln2；當x=

1

2

時，函數(shù)f（x）的極小值為f（

1

2

）=-

3

4

+

3

2

ln

3

2

；  …（6分）
（2）∵g（x）=f（x）+2x，f（x）=x²+bln（x+1）-2x，∴g（x）=x²+bln（x+1），f（x）=g（x）-2x
∵f（x）=x²+bln（x+1）-2x，所以f′(x)=2x+

b

x+1

-2=

2x2+b-2

x+1

，其中x∈（-1，+∞）
因為b≥2，所以f'（x）≥0（當且僅當b=2，x=0時等號成立），所以f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上是增函數(shù)，
從而對任意x₁，x₂∈（-1，+∞），當x₁≥x₂時，f（x₁）≥f（x₂），
∴g（x₁）-2x₁≥g（x₂）-2x₂，整理得g（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）…（10分）
所以對任意x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁≥x₂，都有g(shù)（x₁）-g（x₂）≥2（x₁-x₂）．…（12分）

點評：本題給出一個含有字母參數(shù)的基本初等函數(shù)，討論了函數(shù)的極值和單調(diào)性，著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值和用函數(shù)證明恒等式的知識點，屬于基礎(chǔ)題．