Question

16．在銳角△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且$a=\frac{1}{2}$，a+b+c=sinA+sinB+sinC．
（1）求角A的大小；
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=k$，則a+b+c=k（sinA+sinB+sinC，所以k=1．于是sinA=$\frac{1}{2}$；
（2）利用余弦定理得出b²+c²=$\sqrt{3}$bc+$\frac{1}{4}$，再利用基本不等式得出bc≤$\frac{1}{4（2-\sqrt{3}）}$，從而利用三角形的面積公式即可計算得解三角形的面積最大值．

解答 解：（1）設$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=k$，則a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，
∴a+b+c=k（sinA+sinB+sinC），
又∵a+b+c=sinA+sinB+sinC，
∴k=1．
∴sinA=a=$\frac{1}{2}$，
∵A是銳角，
∴A=$\frac{π}{6}$．
（2）∵a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-$\sqrt{3}$bc=$\frac{1}{4}$，即：b²+c²=$\sqrt{3}$bc+$\frac{1}{4}$，
∴$\sqrt{3}$bc+$\frac{1}{4}$≥2bc，解得：bc≤$\frac{1}{4（2-\sqrt{3}）}$，當且僅當b=c時等號成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{4（2-\sqrt{3}）}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$+$\frac{\sqrt{3}}{16}$，當且僅當b=c時等號成立，
∴△ABC面積的最大值為$\frac{1}{8}$+$\frac{\sqrt{3}}{16}$．

點評 本題考查了正，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．