Question

已知集合A={（x，y）|y≥|x-a|}，B={（x，y）|y≤-a|x|+2a}（a≥0）．
（1）證明A∩B≠∅；
（2）當0≤a≤4時，求由A∩B中點組成圖形面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據（0，a）∈A，（0，2a）∈B，可得A∩B≠∅．
（2）分類討論：當2≤a≤4時，A∩B中點組成三角形，當0＜a＜2時，A∩B中點組成四邊形，求出相應的面積，利用導數求得面積的最大值，從而可得結論．
解答：（1）證明：顯然（0，a）∈A．
當x=0時，y≤-a|x|+2a=2a，
∴（0，2a）∈B．∴A∩B≠∅．
（2）解：如左上圖，當2≤a≤4時，A∩B中點組成如圖所示△EFD，
∴E（0，2a）、F（-，）、D（，）、G（0，a）．
∴S_△EFD=S_△EFG+S_△FGD=a•+a•=．
當0＜a＜2時，A∩B中點組成如右上圖所示四邊形EFGH．
∴E（0，2a）、F（-，）、G（a，0）、H（，）、D（-2，0）、Q（2，0），
∴S_{四邊形EFGH}=S_△DEQ-S_△DFG-S_△GHQ=×4×2a-（a+2）•- （2-a）•=．
當a=0時，A∩B={（0，0）}，顯然適合上式，
∴S=
當0≤a＜2時，S=，∴S′=＞0
∴S=在[0，2）上是增函數．∴0≤S＜．
當a≥2時，S=，∴S′=＞0，
∴S=在[2，4]上是增函數，∴≤S≤．
綜上所述，當a=4時，A∩B中點組成圖形面積取得最大值．
點評：本題考查A∩B中點組成圖形面積的計算，考查利用導數求最大值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．