Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)（

2

，0），為其右焦點(diǎn)，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+m（km≠0）與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)P在直線x+2y=0上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OAB的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得

c= 2 2b2 a =2 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + y2 2 =1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線距離公式、弦長(zhǎng)公式，結(jié)合已知條件能求出△OAB的面積的最大值．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)（

2

，0）為其右焦點(diǎn)，
過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為2，
∴

c= 2 2b2 a =2 a2=b2+c2

，解得a²=4，b²=2，c²=2，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）聯(lián)立

y=kx+m x2 4 + y2 2 =1

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
由△＞0，得16k²m²-8（1+2k²）（m²-2）＞0，
整理，得4k²-m²+2＞0，（*）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

-4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-4

1+2k2

，
y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+2k2

，
故AB的中點(diǎn)P（

-2km

1+2k2

，

m

1+2k2

），由點(diǎn)P在直線x+2y=0上，得：

-2km

1+2k2

+

2m

1+2k2

=0，即

2m(1-2k)

1+2k2

=0，
又∵km≠0，∴k=1，
此時(shí)一元二次方程可變形為3x²+4mx+2m²-4=0，
（*）式整理，得6-m²＞0，解得-

6

＜m＜

6

，
直線l：x-y+m=0，
∴點(diǎn)O到直線AB的距離為d=

|m|

2

，
|AB|=

2

•

16m2-24(m2-2)

3

=

4 6-m2

3

，
∴S_△OAB=

1

2

|AB|•d=

2 m2(6-m2)

3 2

≤

2• m2+(6-m2) 2

3 2

=

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)m²=6-m²，即m=±

3

時(shí)取等號(hào)，
故△OAB的面積的最大值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考是橢圓方程的求法，考查三角形面積最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線距離公式、弦長(zhǎng)公式等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．