已知函數(shù)f(x)=x3-xn2++且存在x0∈(0,),使f(x0)=x0.

(1)證明f(x)是R上的單調增函數(shù);

設

其中,n=1,2,….

(2)證明xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn;

(3)證明.

思路分析:本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)及其應用等基本知識,考查運用數(shù)學知識分析和解決實際問題的能力.

證明:(1)∵f′(x)=3x2-2x+=3(x-)2+＞0,

∴f(x)是R上的單調增函數(shù).

(2)∵0＜x0＜,即x1＜x0＜y1.

又f(x)是增函數(shù),∴f(x1)＜f(x0)＜f(y1),即x2＜x0＜y2.

又x2=f(x1)=f(0)=＞0=x1,y2=f(y1)=f()=＜=y1,綜上,x1＜x2＜x0＜y2＜y1.

用數(shù)學歸納法證明如下:

①當n=1時,上面已證明成立.

②假設當n=k(k≥1)時,有xk＜xk+1＜x0＜yk+1＜yk.

當n=k+1時,由f(x)是單調增函數(shù),有f(xk)＜f(xk+1)＜f(x0)＜f(yk+1)＜f(yk),

∴xk+1＜xk+2＜x0＜yk+2＜yk+1.

由①②知對一切n=1,2,…,都有xn＜xn+1＜x0＜yn+1＜yn.

(3)=yn2+xnyn+xn2-(yn+xn)+≤(yn+xn)2-(yn+xn)+

=［(yn+xn)-］2+.

由(2)知0＜yn+xn＜1.

∴-＜yn+xn-＜.

∴＜()2+=.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型：022

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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