Question

已知橢圓C的兩個焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），且橢圓C的短軸長為2，
（1）過點F₂的直線l與橢圓C相交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，求直線l的方程；
（2）若動點P（x，y）在橢圓上，求

y-2

x

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意，c=1，b=1，則a=

2

，從而寫出橢圓的方程，設(shè)直線l的方程為x=ay+1，聯(lián)立可得（a²+2）y²+2ay-1=0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，y₁y₂=

-1

a2+2

，y₁+y₂=

-2a

a2+2

，由OP⊥OQ可得x₁•x₂+y₁y₂=0，從而解出a=±

2

2

，從而得到直線l的方程；
（2）設(shè)

y-2

x

=k，則y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立化簡可得（2k²+1）x²+8kx+6=0，則由題意知△=（8k）²-4×6×（2k²+1）≥0，從而求

y-2

x

的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意，c=1，b=1，則a=

2

，
則橢圓的方程為

x2

2

+y2=1，
設(shè)直線l的方程為x=ay+1，與橢圓方程聯(lián)立可得，

x=ay+1 x2 2 +y2=1

，
消去x化簡可得，
（a²+2）y²+2ay-1=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則y₁y₂=

-1

a2+2

，y₁+y₂=

-2a

a2+2

，
x₁•x₂=（ay₁+1）•（ay₂+1）
=a²

-1

a2+2

+a

-2a

a2+2

+1，
則由OP⊥OQ可得，
x₁•x₂+y₁y₂=a²

-1

a2+2

+a

-2a

a2+2

+1+

-1

a2+2

=0，
即2a²=1，
則a=±

2

2

，
則x=±

2

2

+1，即y=±

2

(x-1)，
（2）設(shè)

y-2

x

=k，則y=kx+2，與橢圓方程聯(lián)立化簡可得，
（2k²+1）x²+8kx+6=0，
則△=（8k）²-4×6×（2k²+1）≥0，
即16k²-24≥0，
則k≥

6

2

或k≤-

6

2

．
即

y-2

x

的取值范圍為（-∞，-

6

2

）∪（

6

2

，+∞）．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的交點問題，注意用根與系數(shù)的關(guān)系簡化運算，屬于難題．