如圖所示,在直角梯形ABCP中,AB=BC=3,AP=7,CD⊥AP,現(xiàn)將沿折線CD折成60°的二面角P—CD—A,設(shè)E,F(xiàn),G分別是PD,PC,BC的中點。
(I)求證:PA//平面EFG;
(II)若M為線段CD上的一個動點,問當(dāng)M在什么位置時,MF與平面EFG所成角最大。
(Ⅰ)見解析 (Ⅱ) M為線段CD中點時 ,最大
方法一: (I)證明:平面PAD,
2分
過P作AD的垂線,垂足為O,則PO平面ABCD。
過O作BC的垂線,交BC于H,以O(shè)H,OD,OP為x
軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
是二面角P—PC—A的平面角,,
又
得
故 4分
設(shè)平面EFG的一個法向量為則
6分
而
故PA//平面EFG。 7分
(II)解:設(shè)M(x,2,0),則, 9分
設(shè)MF與平面EFG所成角為,
則 12分
故當(dāng)取到最大值,則取到最大值,此時點M為線段CD的中點。14分
方法二:
(I)證明:取AD的中點H,連結(jié)EH,HG。 2分[
H,G為AD,BC的中點,∴HG//CD,又EF//CD!郋F//HG,
∴E,F(xiàn),G,H四點共面
又∵PA//EH,EH平面EFGH,PA平面EFGH,∴PA//平面EFG。 7分
(II)解:過M作MO⊥平面EFG,垂足O,連結(jié)OF,
則即為MF與平面EFG所成角,因為CD//EF,
故CD//平面EFG,故CD上的點M到平面EFG的距離
MO為定長,故要使最大,只要MF最短,故當(dāng)
時,即M為線段CD中點時 ,最大。 14分
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3 |
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1 | 2 |
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π | 2 |
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