Question

若數列{a_n}滿足：a₁=1，且對任意的正整數m，n都有a_m+n=a_m+a_n+2mn，則數列{a_n}的通項公式a_n=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：令m=1，得a_n+1=a₁+a_n+2n=1+a_n+2n，從而a_n+1-a_n=2n+1，由此利用用疊加法，能求出a_n．

解答： 解：∵數列{a_n}滿足：a₁=1，且對任意的正整數m，n都有a_m+n=a_m+a_n+2mn，
∴令m=1，得a_n+1=a₁+a_n+2n=1+a_n+2n，
∴a_n+1-a_n=2n+1
用疊加法，得：
a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）
=1+3+5…+（2n-1）
=

n(1+2n-1)

2

=n²．
故答案為：n²．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意疊加法的合理運用．