Question

已知圓C：（x+3）²+y²=4，P為圓C上任一點(diǎn)，A（3，0）為定點(diǎn)，AP的中點(diǎn)為M．
求：
（1）動點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）動點(diǎn)M的軌跡與圓C的公切線方程．

Answer 1

分析：（1）由圓C：（x+3）²+y²=4，P為圓C上任一點(diǎn)，知P（-3+2cosθ，2sixθ），設(shè)AP的中點(diǎn)M（x，y），由A（3，0），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式能求出動點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）動點(diǎn)M的軌跡是以M（0，0）為圓心，以1為半徑的圓，設(shè)BD是圓M與圓C的公切線，D和B是切點(diǎn)，則BC=2，MD=1，MC=3，設(shè)BD交x軸于E，則E（3，0），故tan∠BEC=

2

4

，由此能求出動點(diǎn)M的軌跡與圓C的公切線方程．

解答：解：（1）∵圓C：（x+3）²+y²=4，P為圓C上任一點(diǎn)，
∴P（-3+2cosθ，2sixθ），
設(shè)AP的中點(diǎn)M（x，y），
∵A（3，0），∴

x= -3+2cosθ+3 2 =cosθ y= 2sinθ 2 =sinθ

，（0≤θ＜2π）
∴x²+y²=1．
（2）如圖，動點(diǎn)M的軌跡是以M（0，0）為圓心，以1為半徑的圓，
設(shè)BD是圓M與圓C的公切線，D和B是切點(diǎn)，則BC=2，MD=1，MC=3，
設(shè)BD交x軸于E，則E（3，0），
∴tan∠BEC=

2

62-22

=

2

4 2

=

2

4

，
∴動點(diǎn)M的軌跡與圓C的公切線方程為：y=±

2

4

（x-3）．

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查兩個圓的公切線方程的求法．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意圓的參數(shù)方程和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的靈活運(yùn)用．