Question

8．已知四邊形ABCD的對角線相交于一點，$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（$-\sqrt{3}$，1），則$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CD}$的最小值是（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． -2
• D． -4

Answer 1

分析 通過向量的模及數(shù)量積的計算可確定四邊形ABCD為對角線垂直且相等的四邊形，通過建立坐標系，利用數(shù)量積的坐標運算計算可得結(jié)論．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（$-\sqrt{3}$，1），
∴|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BD}$|=2，且$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，
不妨設(shè)AC與BD交點為O，OC=x，OD=y，
則AO=2-x，BO=2-y，
從而$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CD}$=（0+2-x，y-2）•（0-x，y-0）
=x²+y²-2（x+y）
=（x-1）²+（y-1）²-2，
∵0＜x、y＜2，
∴當x=y=1時，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{CD}$取最小值-2，
故選：C．

點評 本題考查平面向量數(shù)量積的運算，涉及向量的坐標運算和向量的模的計算以及向量的夾角公式等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．