Question

2．設數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項和S_n滿足S_n=2（b_n-1），且a₂=b₁-1，a₅=b₃-1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過S_n=2（b_n-1）與S_n-1=2（b_n-1-1）（n≥2）作差可知b_n=2b_n-1（n≥2），進而驗證b₁=2滿足上式可得${b_n}={2^n}$（n∈N*）．利用$d=\frac{{{a_5}-{a_2}}}{5-2}=2$，結合等差數(shù)列的通項公式可得a_n=2n-3（n∈N*）；
（Ⅱ）通過（1）知${c_n}=（2n-3）•{2^n}$，進而利用錯位相減法計算即得結論．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=2（b_n-1），①
∴當n≥2時，S_n-1=2（b_n-1-1），②
由①-②得：b_n=2（b_n-b_n-1）（n≥2），即b_n=2b_n-1（n≥2），
又n=1時，S₁=2（b₁-1），得b₁=2，
∴${b_n}={2^n}$（n∈N*）．
設數(shù)列{a_n}的公差為d，則$d=\frac{{{a_5}-{a_2}}}{5-2}=2$，
所以a_n=2n-3（n∈N*）…（6分）
（Ⅱ）由（1）知${c_n}=（2n-3）•{2^n}$，設數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，
則${T_n}=-1×2+1×{2^2}+3×{2^3}+…+（2n-3）×{2^n}$，
$2{T_n}=-1×{2^2}+1×{2^3}+3×{2^4}+…+（2n-5）×{2^n}+（2n-3）×{2^{n+1}}$，
兩式作差得$-{T_n}=-1×2+2×{2^2}+2×{2^3}+…+2×{2^n}-（2n-3）×{2^{n+1}}$
=$-2-\frac{{8（1-{2^{n+1}}）}}{1-2}-（2n-3）×{2^{n+1}}$
=-10-（2n-5）×2ⁿ⁺¹，
∴${T_n}=（2n-5）•{2^{n+1}}+10$（n∈N*）…（12分）

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，考查階差法、錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．