Question

如圖所示,半徑為R的球有一個(gè)內(nèi)接圓柱,這個(gè)圓柱的底面半徑為何值時(shí),它的側(cè)面積最大?最大值是多少?

Answer 1

思路解析:解決最值問題應(yīng)先構(gòu)造以圓柱的半徑為自變量、以它的側(cè)面積為函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式、然后分析函數(shù)的類型、再求側(cè)面積的最大值.這是兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的組合、研究時(shí)、應(yīng)取圓柱的軸截面圖形、將它轉(zhuǎn)化為平面幾何的問題來解決.

解:如題圖、取圓柱的軸截面ABCD、則⊙O為球的一個(gè)大圓.

設(shè)圓柱的底面半徑為r、高為h、側(cè)面積為S、

連結(jié)OB,作OH⊥AB、交AB于H.

在Rt△OBH中,有()²=R²-r²,即h=

∴S=2πrh=2πr·

∴S²=16π²r²()²=-16π²r²(r²)²+16π²R²r².

∵這是一個(gè)關(guān)于r²的二次函數(shù)、

∴當(dāng)r²=-時(shí),S有最大值、最大值為4π·=2πR².

故當(dāng)這圓柱的底面半徑為R時(shí),它的側(cè)面積最大,最大值是2πR².

另:求S²=16π²r²(R²-r²)的最大值時(shí)還可考慮運(yùn)用重要不等式S²≤16π²()²=4π²R⁴.∴S≤2πR².當(dāng)且僅當(dāng)r²=R²-r²,即r²=,r=R時(shí)等號(hào)成立.故S的最大值為2πR².