Question

17．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{5}{6}$n（n+13）．
（1）求證：{a_n}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=a_3n+a_3n+1，求證：{b_n}也是等差數(shù)列；
（3）求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，再由等差數(shù)列的定義，即可得證；
（2）求得b_n=a_3n+a_3n+1=10n+$\frac{65}{3}$，運(yùn)用等差數(shù)列的定義，即可得證；
（3）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=$\frac{35}{3}$，
當(dāng)n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{5}{6}$n（n+13）-$\frac{5}{6}$（n-1）（n+12）
=$\frac{5n+30}{3}$，對(duì)n=1也成立．
a_n+1-a_n=$\frac{5}{3}$，
則{a_n}是首項(xiàng)為$\frac{35}{3}$，公差為$\frac{5}{3}$的等差數(shù)列；
（2）證明：b_n=a_3n+a_3n+1=5n+10+（5n+10+$\frac{5}{3}$）
=10n+$\frac{65}{3}$，
b_n+1-b_n=10，
即有{b_n}是公差為10，首項(xiàng)為$\frac{95}{3}$的等差數(shù)列；
（3）{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$n（$\frac{95}{3}$+10n+$\frac{65}{3}$）
=5n²+$\frac{80}{3}$n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的判斷和通項(xiàng)公式及求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．