Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為棱AA₁和BB₁的中點(diǎn)，則sin＜

CM

，

D1N

＞的值為

4 5

9

．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)公式求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求出兩個(gè)向量的夾角余弦，利用三角函數(shù)的平方關(guān)系求出兩個(gè)向量的夾角正弦．

解答：解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則C（0，2，0），M（2，0，1），D₁（0，0，2），N（2，2，1）
可知

CM

=（2，-2，1），

D1N

=（2，2，-1），
∴

CM

•

D1N

=2×2-2×2-1×1=-1，|

CM

|=3，|

D1N

|=3
∴cos＜

CM

，

D1N

＞=

CM • D1N

| CM || D1N |

=-

1

9

∴＜

CM

，

D1N

＞∈(

π

2

，π)
∴由三角函數(shù)的平方關(guān)系得sin＜

CM

，

D1N

＞=

4 5

9

故答案為

4 5

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的坐標(biāo)的求法、利用向量的數(shù)量積公式求向量的夾角的余弦值、同角的三角函數(shù)的平方關(guān)系!