Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，前n項和為S_n，且S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）
（1）求證：{a_n+1-2a_n}成等比數(shù)列
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用已知條件，推出S_n=4a_n-1+2，利用a_n+1=S_n+1-S_n，然后求證：{a_n+1-2a_n}成等比數(shù)列
（2）利用（1）求出通項公式，得到遞推關(guān)系式，判斷新數(shù)列是等比數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答： 解：（1）由Sn+1=4an+2(n∈N*)①得：當(dāng)n≥2時有：S_n=4a_n-1+2②，
①-②可得：a_n+1=4a_n+2-（4a_n-1+2），∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
由等比數(shù)列的定義知：{a_n+1-2a_n}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列．…（6分）
（2）由（1）可得：an+1-2an=3•2n-1，于是：

an+1-2an

2n-1

=3，即

an+1

2n-1

-

an

2n-2

=3，
又

a1

2-1

=2，故{

an

2n-2

}是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，于是：

an

2n-2

=2+3(n-1)=3n-1，所以an=(3n-1)2n-2…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列的判定，數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想．