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如圖，圓與直線相切于點，與正半軸交于點，與直線在第一象限的交點為.點為圓上任一點，且滿足，動點的軌跡記為曲線．

（1）求圓的方程及曲線的方程；
（2）若兩條直線和分別交曲線于點、和、，求四邊形面積的最大值，并求此時的的值．
（3）證明：曲線為橢圓，并求橢圓的焦點坐標．

（1）圓的方程為，曲線的方程為（）；（2）當時，四邊形的面積最大值為；（3）證明見解析，其焦點坐標為，.

解析試題分析：（1）圓的半徑等于圓心到切線的距離，曲線的方程可通過已知變形得到，條件是，，把已知式平方可得出的方程；（2）從方程可看出，即，因此，我們把方程與曲線方程聯(lián)立方程組可解得兩點坐標，從而得到，把中的，用代可得出，從而求出，變形為，易知，故當即時，取得最大值，為了求最大值，也可作變形，應用基本不等式基本不等式知識得出結論；（3）要證曲線為橢圓，首先找它的對稱軸，從方程中可看出直線是其對稱軸，接著求出曲線與對稱軸的交點即橢圓的頂點，這樣可求得長軸長和短軸長，根據公式，求出半焦距，這樣可求出焦點，下面我們只要按照橢圓的定義證明曲線的點到兩定點的距離之和為定值，也可求出到兩定點的距離之和為定值的點的軌跡方程是曲線的方程，這樣就完成了證明. 
試題解析：（1）由題意圓的半徑，
故圓的方程為.                             2分
由得，，
即，得
（）為曲線的方程.（未寫范圍不扣分） 4分
（2）由得，，
所以，同理.        6分
由題意知 ，所以四邊形的面積.
，
∵ ，∴ .           8分
當且僅當時等號成立，此時.
∴ 當時，四邊形的面積最大值為.                       &n

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

(理)已知點是平面直角坐標系上的一個動點，點到直線的距離等于點到點的距離的2倍．記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)斜率為的直線與曲線交于兩個不同點，若直線不過點，設直線的斜率分別為，求的數值；
(3)試問：是否存在一個定圓，與以動點為圓心，以為半徑的圓相內切？若存在，求出這個定圓的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，

已知橢圓E:的離心率為，過左焦點且斜率為的直線交
橢圓E于A,B兩點，線段AB的中點為M,直線：交橢圓E于C,D兩點.
（1）求橢圓E的方程；
（2）求證：點M在直線上；
（3）是否存在實數，使得四邊形AOBC為平行四邊形?若存在求出的值，若不存在說明理
由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知是橢圓上兩點，點的坐標為.
（1）當關于點對稱時，求證：；
（2）當直線經過點時，求證：不可能為等邊三角形.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設橢圓的左、右焦點分別、，點是橢圓短軸的一個端點，且焦距為6，的周長為16．
（I）求橢圓的方程；
（2）求過點且斜率為的直線被橢圓所截的線段的中點坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線上的任意一點到該拋物線焦點的距離比該點到軸的距離多1．

（1）求的值；
（2）如圖所示，過定點（2，0）且互相垂直的兩條直線、分別與該拋物線分別交于、、、四點．
（i）求四邊形面積的最小值；
（ii）設線段、的中點分別為、兩點，試問：直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，對稱軸為坐標軸，且經過點．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓相交于、兩點， 為原點，在、上分別存在異于點的點、，使得在以為直徑的圓外，求直線斜率的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

給定橢圓C：＝1(a>b>0)，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸的一個端點到點F的距離為.
(1)求橢圓C和其“準圓”的方程；
(2)若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B、D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求·的取值范圍；
(3)在橢圓C的“準圓”上任取一點P，過點P作直線l1，l2，使得l1，l2與橢圓C都只有一個交點，試判斷l(xiāng)1，l2是否垂直？并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，動點與兩定點、構成，且，設動點的軌跡為．

（1）求軌跡的方程；
（2）設直線與軸相交于點，與軌跡相交于點，且，求的取值范圍．

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