Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB中點(diǎn)，
（1）求證：AD₁⊥平面CDA₁B₁；
（2）求異面直線C₁E與AA₁所成的角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）根據(jù)題中的已知條件找到線面垂直的充分條件，然后利用線面垂直的判定進(jìn)行證明．
（2）首先通過(guò)找與AA₁平行的直線CC₁，把異面直線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在同一平面內(nèi)的直線問(wèn)題，然后利用解三角形確定結(jié)果．

解答：
證明：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁⊥平面A₁ADD₁，AD₁?平面A₁ADD₁
∴A₁B₁⊥AD₁
如圖所示：AD₁⊥A₁D  A₁D∩A₁B₁=A₁
∴：AD₁⊥平面CDA₁B₁；
（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則求得CE=

5

，C1E=

C1C2+CE2

=3
∵A₁A∥CC₁
異面直線C₁E與AA₁所成的角就是直線C₁E與CC₁所成的角．
在Rt△ECC₁中，
sin∠EC1C=

5

3

故答案為：（1）略
（2）sin∠EC1C=

5

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：線面垂直的性質(zhì)定理，線面垂直的判定定理，異面直線所成的角，勾股定理及相關(guān)的運(yùn)算問(wèn)題．