Question

已知向量

a

=（-cos2x，2），

b

=（2，2-

3

sin2x），函數f（x）=

a

•

b

-4．
（Ⅰ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值并求出相應x的值；
（Ⅱ）若將f（x）圖象上的所有點的縱坐標縮小到原來的

1

2

倍，橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移

π

3

個單位得到g（x）圖象，求g（x）的最小正周期和對稱中心；
（Ⅲ）若f（α）=-1，α∈（

π

4

，

π

2

），求sin2α的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,三角函數中的恒等變換應用,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（I）利用數量積運算、兩角和差的正弦公式及三角函數的單調性即可得出．
（II）將f（x）圖象上的所有點的縱坐標縮小到原來的

1

2

倍，變?yōu)閥=-2sin(2x+

π

6

)；橫坐標伸長到原來的2倍，變?yōu)?span id="vyq4lhz" class="MathJye">y=-2sin(x+

π

6

)；再向左平移

π

3

個單位得到g（x）=-2sin(x+

π

6

+

π

3

)，即可得出g（x）的最小正期與對稱中心．
（III）利用f（α）=-1，α∈（

π

4

，

π

2

），可得sin(2α+

π

6

)，cos(2α+

π

6

)，再利用sin2α=sin(2α+

π

6

-

π

6

)展開即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

a

•

b

-4
=-2cos2x+4-2

3

sin2x-4=-4sin(2x+

π

6

)，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
當2x+

π

6

=

7π

6

時，即x=

π

2

時，f（x）_max=2．
（Ⅱ）將f（x）圖象上的所有點的縱坐標縮小到原來的

1

2

倍，變?yōu)閥=-2sin(2x+

π

6

)，
橫坐標伸長到原來的2倍，變?yōu)?span id="vttoog5" class="MathJye">y=-2sin(x+

π

6

)，
再向左平移

π

3

個單位得到g(x)=-2sin(x+

π

2

)=-2cosx． 
∴g（x）的最小正期為2π，對稱中心為（kπ+

π

2

，0）k∈Z．
（Ⅲ）由f(α)=-1⇒sin(2α+

π

6

)=

1

4

，
∵α∈(

π

4

，

π

2

)，∴2α+

π

6

∈(

2π

3

，

7π

6

)，
∴cos(2α+

π

6

)=-

15

4

．  
∴sin2α=sin(2α+

π

6

-

π

6

)=sin(2α+

π

6

)cos

π

6

-cos(2α+

π

6

)sin

π

6

=

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

15 + 3

8

．

點評：本題考查了三角函數的圖象與性質、三角函數的圖象變換、兩角和差的正弦余弦公式、三角函數的基本關系式、數量積運算等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．