Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)任意x₁，x₂∈（0，1）且x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂），f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（1）=2．
（1）求f(

1

2

)，f(

1

3

)；
（2）若an=f(2n+

1

n

)，n∈N*，求數(shù)列{n²lg|a_n|}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對(duì)任意x₁，x₂∈（0，1）且x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂），利用賦值法，即可求得結(jié)論；
（2）根據(jù)f(1)=f(n×

1

n

)=[f(

1

n

)]ⁿ=2，可得f(

1

n

)=2

1

n

，根據(jù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，可得4是函數(shù)f（x）的周期，從而可得數(shù)列通項(xiàng)，進(jìn)而可求數(shù)列的和．

解答：解：（1）因?yàn)閷?duì)任意x₁，x₂∈（0，1）且x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂），
所以f（1）=f（

1

2

+

1

2

）=f（

1

2

）•f（

1

2

）=2
因?yàn)閒（x₁）＞0，f（x₂）＞0，所以f（

1

2

）=

2

∵f（1）=f（

1

3

+

2

3

）=f（

1

3

）•f（

2

3

）=f（

1

3

）•f（

1

3

）•f（

1

3

）=2
∴f（

1

3

）=2

1

3

（2）∵f(1)=f(n×

1

n

)=[f(

1

n

)]ⁿ=2，
∴f(

1

n

)=2

1

n

∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）
∵圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，∴f（-x）=f（2+x）
∴f（x+2）=-f（x）
∴f（x+4）=f（x）
∴4是函數(shù)f（x）的周期
∴an=f(2n+

1

n

)=

f( 1 n )，n為偶數(shù) -f( 1 n )，n為奇數(shù)

=

2 1 n ，n為偶數(shù) -2 1 n ，n為奇數(shù)

，
∴n²lg|a_n|=nlg2
∴前n項(xiàng)和S_n=lg2（1+2+…+n）=

n(n+1)

2

lg2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)和函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．抽象函數(shù)往往是通過(guò)對(duì)自變量合理的賦值來(lái)解決問(wèn)題；函數(shù)周期性、奇偶性、對(duì)稱性三者之間具有知二求一的關(guān)系．