Question

【題目】如圖，在棱長(zhǎng)均為4的三棱柱中， 分別是和的中點(diǎn).

（1）求證： 平面

（2）若平面平面，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）8

【解析】試題分析：（1）欲證A1D1∥平面AB1D，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證A1D1與平面AB1D內(nèi)一直線平行，連接DD1，根據(jù)中位線定理可知B1D1∥BD，且B1D1=BD，則四邊形B1BDD1為平行四邊形，同理可證四邊形AA1D1D為平行四邊形，則A1D1∥AD

又A1D1平面AB1D，AD平面AB1D，滿足定理所需條件；

（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知AD⊥平面B1C1CB，即AD是三棱錐A﹣B1BC的高，求出三棱錐A﹣B1BC的體積，從而求出三棱錐B1﹣ABC的體積．

試題解析：

（1）證明：如圖，連結(jié).在三棱柱中，

因?yàn)?/span>分別是與的中點(diǎn)，所以，且.

所以四邊形為平行四邊形，所以，且.

又所以，

所以四邊形為平行四邊形，所以.

又平面， 平面，故平面.

（2）解：（方法1)

在中，因?yàn)?/span>， 為的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)槠矫?/span>平面，交線為， 平面,

所以平面，即是三棱錐的高.

在中，由，得.

在中， ，

所以的面積.

所以三棱錐的體積，即三棱錐的體積.

(方法 2)在 中，因?yàn)?/span>，

所以為正三角形，因此.

因?yàn)槠矫?/span>平面，交線為， 平面，

所以平面，即是三棱錐的高.

在中，由，得的面積.

在中，因?yàn)?/span>，所以.

所以三棱錐的體積.