Question

14．已知函數f（x）是R上的奇函數，g（x）是R上的偶函數，且有g（1）=0，當x＞0時，有f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，則f（x）g（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 先根據f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0可確定[f（x）g（x）]'＞0，進而可得到f（x）g（x）在x＞0時遞增，結合函數f（x）與g（x）的奇偶性可確定f（x）g（x）在x＜0時也是增函數，最后根據g（1）=0可求得答案．

解答 解：因 f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0，
f（x）g（x）在x＞0時遞增，
又∵f（x），g（x）分別是定義R上的奇函數和偶函數，
∴f（x）g（x）為奇函數，關于原點對稱，
∴f（x）g（x）在x＜0時也是增函數．
∵f（1）g（1）=0，
∴f（-1）g（-1）=0
∴f（x）g（x）＞0的解集為：x＞1或-1＜x＜0
故答案為：（-1，0）∪（1，+∞）

點評 本題考查了函數的奇偶性的應用，以及導數的運算，不等式的解法等，根據導數的正負可以確定函數的單調性，利用數形結合的思想進行解題．屬于中檔題．