Question

已知拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線(xiàn)l與該拋物線(xiàn)分別交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），若

AF

=3

FB

，則k=

3

．

Answer 1

分析：作出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，設(shè)A、B在l上的射影分別是C、D，連接AC、BD，過(guò)B作BE⊥AC于E．由拋物線(xiàn)的定義結(jié)合題中的數(shù)據(jù)，可算出Rt△ABE中，cos∠BAE=

1

2

，得∠BAE=60°，即直線(xiàn)AB的傾斜角為60°，從而得到直線(xiàn)AB的斜率k值．

解答：解：作出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l：x=-

p

2

，設(shè)A、B在l上的射影分別是C、D，
連接AC、BD，過(guò)B作BE⊥AC于E
∵

AF

=3

FB

，∴設(shè)

|FB|

=m，則

|AF|

=3m，（m）
由點(diǎn)A、B分別在拋物線(xiàn)上，結(jié)合拋物線(xiàn)的定義，得

|DB|

=

|FB|

=m，

|AC|

=

|AF|

=3m
∴

|AE|

=

|AC|

-

|CE|

=

|AC|

-

|DB|

=2m
因此，Rt△ABE中，cos∠BAE=

|AE|

|AB|

=

1

2

，得∠BAE=60°
所以，直線(xiàn)AB的傾斜角∠AFx=60°，
得直線(xiàn)AB的斜率k=tan60°=

3

故答案為：

3

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分成3：1的比，求直線(xiàn)的斜率k，著重考查了拋物線(xiàn)的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線(xiàn)的斜率等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．