Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和，數(shù)列{b_n}是正項等比數(shù)列，且a₁=-b₁，b₃（a₂-a₁）=b₁．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_nb_n，是否存在正整數(shù)M，使得對一切n∈N^*，都有c_n≤M成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和，
∴n≥2 時，a_n=S_n-S_n-1=4n-4，
當n=1時，a₁=S₁=-1，滿足上式
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=4n-5（n∈N^*）
∵數(shù)列{b_n}是正項等比數(shù)列，a₁=-b₁，b₃（a₂-a₁）=b₁．
∴b₁=1，b₃=，q=
∴數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=
（2）∵c_n=a_nb_n，∴c_n=
由，可得n≤2，當n≥3時，c_n+1≤c_n
∴c₃最大，最大值為．
故存在正整數(shù)M，使得對一切n∈N^*，都有c_n≤M成立，M的最小值為2
分析：（1）當n=1時，a₁=S₁=-1，當n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1得到a_n的通項公式，把n=1代入也滿足，得到即可；因為數(shù)列{bn}是各項為正的等比數(shù)列，根據(jù)a₁=-b₁，b₃（a₂-a₁）=b₁，即可利用等比數(shù)列的通項公式得到b_n的通項；
（2）把a_n和b_n的通項公式代入到c_n=a_nb_n中，可確定c₃最大，即可得到結論．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查存在性問題，屬于中檔題．