Question

已知點(diǎn)F（1，0），動點(diǎn)P到直線x=-2的距離比到F的距離大1．
（1）求動點(diǎn)P所在的曲線C的方程；
（2）A，B為曲線C上兩動點(diǎn)，若|AF|+|BF|=4，求證：AB垂直平分線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）由條件，P到F（1，0）的距離等于到直線x=-1的距離，
所以，曲線C是以F為焦點(diǎn)、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y²=4x
（2）∵|AF|+|BF|=4，
∴x₁+x₂=2，
設(shè)AB中點(diǎn)M（1，y₀），
則
所以中垂線方程為：，
它恒過點(diǎn)（3，0）．
故AB垂直平分線過定點(diǎn)（3，0）．
分析：（1）根據(jù)拋物線定義可知曲線C是以F為焦點(diǎn)、直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，進(jìn)而可得拋物線的方程．
（2）設(shè)AB中點(diǎn)M（1，y₀），先得出直線AB的斜率與其中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再由垂直得出其垂線的斜率，由點(diǎn)斜式得出中垂線方程，發(fā)現(xiàn)其為一過定點(diǎn)的直線，得出此坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的應(yīng)用及過定點(diǎn)的直線方程定點(diǎn)的求法，考查了綜合運(yùn)用所學(xué)知識和運(yùn)算的能力．