【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E :的焦距為4，兩條準(zhǔn)線間的距離為8，A，B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn).

(1)求橢圓E 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知圖中四邊形ABCD 是矩形，且BC＝4，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，AM與BN相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P .①若M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，證明:點(diǎn)P在橢圓E上；②若點(diǎn)P在橢圓E上，證明:為定值，并求出該定值.

【答案】(1) ；(2)①證明見解析；②證明見解析

【解析】

（1）由求得,進(jìn)而求得橢圓的方程；

（2）①分別求得,坐標(biāo),再求得直線與直線方程,即可求得交點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而得證；②分別設(shè)直線的方程為,直線的方程為,求得點(diǎn),坐標(biāo),則,利用斜率公式求證即可

（1）由題,,則,所以,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）證明：①由（1）可得,,

因為,且四邊形是矩形,

所以,,

因為點(diǎn)分別是的中點(diǎn),

所以,,

則直線為：,即,

直線為：,即,

所以,解得,即

因為,

所以點(diǎn)在橢圓上

②設(shè)直線的方程為,

令,得,

設(shè)直線的方程為,

令,得,

,

設(shè),則,

,

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市有一家大型共享汽車公司，在市場上分別投放了黃、藍(lán)兩種顏色的汽車，已知黃、藍(lán)兩種顏色的汽車的投放比例為.監(jiān)管部門為了了解這兩種顏色汽車的質(zhì)量，決定從投放到市場上的汽車中隨機(jī)抽取5輛汽車進(jìn)行試駕體驗，假設(shè)每輛汽車被抽取的時能性相同.

（1）求抽取的5輛汽車中恰有2輛是藍(lán)色汽車的概率；

（2）在試駕體驗過程中，發(fā)現(xiàn)藍(lán)色汽車存在一定質(zhì)量問題，監(jiān)管部門決定從投放的汽車中隨機(jī)地抽取一輛送技術(shù)部門作進(jìn)一步抽樣檢測，并規(guī)定：若抽取的是黃色汽車.則將其放回市場，并繼續(xù)隨機(jī)地抽取下一輛汽車；若抽到的是藍(lán)色汽車，則抽樣結(jié)束；并規(guī)定抽樣的次數(shù)不超過次，在抽樣結(jié)束時，若已取到的黃色汽車數(shù)以表示，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓方程；

（Ⅱ）設(shè)為橢圓右頂點(diǎn)，過橢圓的右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于），直線，分別交直線于，兩點(diǎn). 求證：，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC+ccosA=2bcosA．
（1）求角A的值；
（2）若, ，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如下圖所示，某窯洞窗口形狀上部是圓弧，下部是一個矩形，圓弧所在圓的圓心為O，經(jīng)測量米，米，，現(xiàn)根據(jù)需要把此窯洞窗口形狀改造為矩形，其中E，F在邊上，G，H在圓弧上.設(shè)，矩形的面積為S.

（1）求矩形的面積S關(guān)于變量的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求為何值時，矩形的面積S最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中．

（Ⅰ）函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能，求出實(shí)數(shù)a，若不能，請說明理由；

（Ⅱ）求最大的整數(shù)，使得對任意，不等式

恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且， .

求證：（1）直線DE平面A1C1F；

（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，是一個半圓柱與多面體構(gòu)成的幾何體，平面與半圓柱的下底面共面，且， 為弧上（不與重合）的動點(diǎn).

（1）證明： 平面；

（2）若四邊形為正方形，且， ，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為，長軸長為．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；

（Ⅱ）過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，求證：由點(diǎn) 構(gòu)成的曲線關(guān)于直線對稱．

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同步練習(xí)冊答案