Question

（本小題滿分14分）已知動圓過定點，且與直線相切，橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，一個焦點為，點在橢圓上.

(1)求動圓圓心的軌跡的方程及橢圓的方程；

(2)若動直線與軌跡在處的切線平行，且直線與橢圓交于兩點，試求當(dāng)面積取到最大值時直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

(1) 軌跡的方程；橢圓方程為 (2)

【解析】

試題分析：（1）過圓心M作直線的垂線，垂足為H.

 由題意得，|MH|=|MF|,由拋物線定義得，點M的軌跡是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為....................3分

設(shè)橢圓方程為，將點A代入方程整理得解得 .故所求的橢圓方程為...............5分

（2）軌跡的方程為，即.

則，所以軌跡在處的切線斜率為，......7分

設(shè)直線方程為，代入橢圓方程得

因為 ，解得；............9分

設(shè)

所以

點A到直線的距離為................12分.

所以

當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時直線的方程為

..................................14分

考點：圓的簡單性質(zhì)；橢圓的簡單性質(zhì)；軌跡方程的求法；直線與圓錐曲線的綜合問題．

點評：求軌跡方程的一般方法：直接法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法、交軌法、向量法等。本題求軌跡方程用到的是定義法。用定義法求軌跡方程的關(guān)鍵是條件的轉(zhuǎn)化——轉(zhuǎn)化成某一已知曲線的定義條件。