Question

已知關(guān)于x的不等式-x²+ax+b＞0的解集為A={x|-1＜x＜3，x∈R}
（1）求a、b的值
（2）設函數(shù)f（x）=lg（-x²+ax+b），求最小的整數(shù)m，使得對于任意的x∈A，都有f（x）≤m成立．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中條件：“x的不等式-x²+ax+b＞0的解集為A={x|-1＜x＜3，x∈R}”得-1和3是相應方程的根，結(jié)合方程根的定義即可求得a值．
（2）由（1）得：函數(shù)f（x）=lg（-x²+2x+3），x∈A={x|-1＜x＜3，x∈R}得出0＜-x²+2x+3≤4，根據(jù)對于任意的x∈A，都有f（x）≤m成立，得出m要大于等于lg（-x²+2x+3）的最大值即可，從而m≥lg4，最后得出m最小的整數(shù)．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的不等式-x²+ax+b＞0的解集為A={x|-1＜x＜3，x∈R}
∴當x=-1或3時，-x²+ax+b＞0，
即

-1-a+b=0 -9+3a+b=0

∴a=2，b=3．
（2）由（1）得：函數(shù)f（x）=lg（-x²+2x+3），
∵x∈A={x|-1＜x＜3，x∈R}
∴0＜-x²+2x+3≤4
∴l(xiāng)g（-x²+2x+3）≤lg4，
從而m≥lg4，
故最小的整數(shù)m=1．

點評：本小題主要考查一元二次不等式的解法、函數(shù)恒成立問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．