Question

7．已知橢圓E的中心為原點坐標，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，E的右焦點與拋物線C：y²=12x的焦點重合，則橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

Answer 1

分析 由題意可設橢圓E的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．拋物線C：y²=12x的焦點為（3，0），可得c=3，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出a、b即可得出．

解答 解：由題意可設橢圓E的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
拋物線C：y²=12x的焦點為（3，0），
∴c=3，又$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得：a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$．
∴橢圓E的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{12}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．

點評 本題考查了橢圓與拋物線的標準方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．