Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的各項均為整數(shù)，其公差d≠0，a₅=6．
（Ⅰ）若a₂•a₁₀＞0，求d的值；
（Ⅱ）若a₃=2，且a3，a5，an1，an2，…，ant，…（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比數(shù)列，求n_t．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列通項公式，結(jié)合a₂•a₁₀＞0，求d的范圍，然后求出d的值；
（Ⅱ）利用a₃=2，求出d的值，寫出ant=2nt-4結(jié)合a3，a5，an1，an2，…，ant，…（5＜n₁＜n₂＜…＜n_t＜…）成等比數(shù)列，求出公比，然后求n_t．

解答：解：（Ⅰ）因為等差數(shù)列{a_n}的各項均為整數(shù)，所以d∈Z（1分）
由a₂•a₁₀＞0，得（a₅-3d）（a₅+5d）＞0，即（3d-6）（5d+6）＜0，
解得-

6

5

＜d＜2．注意到d∈Z，且d≠0，所以d=-1，或d=1（3分）
（Ⅱ）解：由a₃=2，a₅=6，得d=

a5-a3

5-3

=2，
從而a_n=a₃+（n-3）d=2+（n-3）×2=2n-4，故ant=2nt-4（5分）
由a3，a5，an1，an2，，ant，成等比數(shù)列，得此等比數(shù)列的公比為

a5

a3

=3，
從而ant為其第t+1項，所以ant=a3•3t+1=2•3t+1（7分）
由2n_t-4=2•3^t+1，解得n_t=3^t+1+2，t=1，2，3，（9分）

點評：本題是數(shù)列知識的綜合應(yīng)用，考查等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列公比的求法，注意基本知識的靈活運用，�？碱}型．