Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且拋物線的焦點(diǎn)恰好是橢圓的一個焦點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)作直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求四邊形面積的最大值，并求此時直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）平行四邊形OANB的面積最大值為2，直線的方程為.

【解析】

試題本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線與橢圓相交問題等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的分析問題解決問題的能力、運(yùn)算求解能力. 第一問，利用橢圓的離心率和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)列出方程，解出a,b,c的值，從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二問，對直線的斜率進(jìn)行討論，當(dāng)斜率存在時，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消參，得到關(guān)于x的方程，利用韋達(dá)定理，得到和代入到中，通過換元法再利用均值不等式求出最大值，從而得到直線方程.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為，∵離心率為，∴，∴，又點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，∴，∴橢圓C的方程為. 4分

（Ⅱ）∵，∴四邊形OANB為平行四邊形，當(dāng)直線的斜率不存在時，顯然不符合題意；

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，直線與橢圓于、兩點(diǎn)，由.

由 . 6分

，， 7分

∵，

∴

， 9分

令，則（由上式知），

∴，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，

∴當(dāng)時，平行四邊形OANB的面積最大值為2.

此時直線的方程為. 12分