Question

7．設A={（x，y）|x²-a（2x+y）+4a²=0}，B={（x，y）||y|≥b|x|}，對任意實數(shù)a，均有A⊆B成立，則實數(shù)b的最大值為2．

Answer 1

分析 用x表示出y，利用基本不等式計算$\frac{|y|}{|x|}$的最小值，即可得出b的最大值．

解答 解：由x²-a（2x+y）+4a²=0得：y=$\frac{1}{a}$x²-2x+4a，
則$\frac{|y|}{|x|}$=|$\frac{x}{a}+\frac{4a}{x}-2$|，
當ax＞0時，$\frac{x}{a}+\frac{4a}{x}$≥2$\sqrt{4}$=4，∴|$\frac{x}{a}+\frac{4a}{x}-2$|≥|4-2|=2，即$\frac{|y|}{|x|}$≥2，
當ax＜0時，$\frac{x}{a}+\frac{4a}{x}$≤-2$\sqrt{4}$=-4，∴|$\frac{x}{a}+\frac{4a}{x}-2$|≥|-4-2|=6，即$\frac{|y|}{|x|}$≥6，
∵對任意實數(shù)a，均有A⊆B成立，即||y|≥b|x|恒成立，即$\frac{|y|}{|x|}$≥b恒成立，
∴b≤2，
故答案為2．

點評 本題考查了集合的包含關系，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．