Question

16．在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，4sin²$\frac{B+C}{2}$-cos2A=$\frac{7}{2}$．
（Ⅰ）求角A的度數(shù)；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{3}$，b+c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式即可求出；
（Ⅱ）根據(jù)余弦定理求出bc，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵B+C=π-A，即$\frac{B+C}{2}$=$\frac{π}{2}-\frac{A}{2}$，
由4sin²$\frac{B+C}{2}$-cos 2A=$\frac{7}{2}$，得4cos²$\frac{A}{2}$-cos 2A=$\frac{7}{2}$，
即2（1+cos A）-（2cos²A-1）=$\frac{7}{2}$，
整理得4cos²A-4cos A+1=0，即（2cos A-1）²=0．
∴cos A=$\frac{1}{2}$，又0°＜A＜180°，
∴A=60°．
（Ⅱ）由A=60°，根據(jù)余弦定理cos A=$\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$，得$\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$．
∴b²+c²-bc=3，即（b+c）²-3bc=3，
∴bc=2
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×1×2×sin 60°=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．