Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-（

1

2

ax²）+x，a∈r，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意先求函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=

1

x

-ax+1=

-ax2+x+1

x

，從而討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：f（x）=lnx-（

1

2

ax²）+x的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=

1

x

-ax+1=

-ax2+x+1

x

；
①當(dāng)a≤0時(shí)，-a≥0；故f′（x）＞0；
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，令

-ax2+x+1

x

=0知，
方程有一正一負(fù)兩個(gè)根，
正根為x=

1+ 1+4a

2a

；
故當(dāng)x∈（0，

1+ 1+4a

2a

）時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)x∈（

1+ 1+4a

2a

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，

1+ 1+4a

2a

）上單調(diào)遞增，在（

1+ 1+4a

2a

，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．